# 1.1 Rappels et compléments ## 1.1.1 Mesure positive 测度 ### Topologie sur un ensenble (tribu ouvert) $\Omega$:集合 **定义:** topologie sur $\Omega$ **标记:** $\mathcal {TO}$ **解释:** 集合的拓扑($\Omega$的ouvert子集组成的集合,类似于tribu) $\mathcal{TO}\subset \mathcal P (\Omega)$ ($\forall O \in \mathcal{TO}, O \subset \Omega$) 1. $\emptyset \in \mathcal{TO}, \Omega \in \mathcal {TO}$ 2. $\mathcal{TO}$中元素(ouvert)**任意并稳定**。 3. $\mathcal{TO}$中元素(ouvert)**有限交稳定**。 ### Tribu / $\sigma$-algèbre sur un ensemble **定义:** tribu sur $\Omega$ / $\sigma$-algèbre sur $\Omega$ **标记:** $\mathcal T$ **解释:** 集合的一个Tribu($\Omega$集合的子集组成的集合) $\mathcal T \subset \mathcal P (\Omega)$($\forall E \in \mathcal{T}, E \subset \Omega$) 1. $\mathcal T$中元素**补稳定** 2. $\mathcal T$中元素**dénombrable并稳定** ### Espace mesurable 可测空间 可测空间:$(\Omega, \mathcal T)$ ### Partie mesurable 可测集 $\mathcal T$的子集均为可测集 ### Tribu borélienne 博雷尔代数 对于$(\Omega, \mathcal{TO})$ **定义:** tribu borélienne **标记:** $\mathcal{BO}(\Omega)$ **解释:** 包含$\Omega$中所有ouverts的最小tribu 例: 1. $\mathbb R$中所有开区间组成的tribu,即为$\mathcal{BO}(\mathbb{R})$ 2. $\mathbb R^n$中所有boules ouvertes组成的tribu,即为$\mathcal{BO}(\mathbb{R}^n)$ ### Tribu produit 对于$(\Omega_1, \mathcal T_1), (\Omega_2, \mathcal T_2)$两个可测空间, **定义:** tribu produit **标记:** $\mathcal T_1 \otimes \mathcal T_2$ **解释:** 是$\Omega_1\times \Omega_2$的tribu,包含所有可能的$\{{T}_{1}\times{T}_{2},\ {T}_{1}\in{\cal T}_{1}\ \mathrm{et}\ {T}_{2}\in{\cal T}_{2}\}$

学期要求

Ingénieur需要inventer,所以要学这么多奇奇怪怪的数学证明和定理

Technicien需要appliquer,所以学的大部分是应用、技巧之类的东西

要Travailler tous les jours,养成好习惯。

Chapitre 1 Intégrabilité et intégrale à paramètres

0. Introduction

Intégration selon Riemann解决Continue Par Morceaux(CPM)函数的积分问题

这章节解决非CPM函数的积分问题。

例: $\int_0^1 {1}_\mathbb Q (t)\mathrm{d}t=?$

1. Espace mesurés

Tribu $\mathcal T$

最大的tribu是$\mathcal P (\Omega)$,最小的Tribu是$\{\emptyset, \Omega\}$

tribu中集合补集也在tribu中

tribu中集合可数并也在tribu中(即,可数交也在tribu中,因为交为补的并的补。)

一般来说见到的tribu应该都是$\mathcal P (\Omega)$。

Ensemble mesurable $(\Omega, \mathcal T)$

集合配tribu就形成了ensemble mesurable.

$(\Omega, \mathcal T)$

Parties mesurables

tribu的元素均为可测集parties mesurables。

Tribu borélienne $BO(\Omega)$

最小的,包含$\Omega$中所有boules ouverts的,集合的集合。

记为$BO(\Omega)$

注意:

  1. $\{x\}\in BO(\mathbb R)$,因为x的补集是一个开区间的并。
  2. $\mathbb Q\in BO(\mathbb R)$,因为是很多个x的可数并。
  3. $[0,1]\cap \mathbb Q\in BO(\mathbb R)$,因为$\mathbb Q$的补和$[0,1]$的补都在$BO(\mathbb R)$中.
  4. $BO(\mathbb R^n)$包含所有pavés,例如ouvert长方形(R2中),ouvert长方体(R3中)……
注意:$BO(\mathbb R)$不是$\mathcal P(\mathbb R)$。 $\mathbb R$中存在Lebesgue不可测子集,这些子集的测度需要额外的定义。(Cf. TD)

Mesure positive $\mu$

mesure positive sur $\Omega$ : $\mu$, une application positive

  1. $\mu(\emptyset) = 0$
  2. $\mu(\cup A_n) = \Sigma \mu(A_n)$ quand $A_n$ 2 à 2 disjoints.

Formulaire de $\mu$

  1. $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq\mu(B)$
  2. $\mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$
  3. Limite décroissante
  4. Limite croissante
  5. Sous-additivité : $\mu(\cup A_n) \leq \Sigma \mu(A_n)$
**Limite croissante**: $\forall n, A_n\subset A_{n+1} \Rightarrow \mu(\cup A_n) = \lim_{+\infty}\mu(A_n) = \mathrm{(notation)}\ \lim_{+\infty}\uparrow\mu(A_n)$

Espace mesuré $(\Omega, \mathcal T, \mu)$

(集合,Tribu,mesure) 组成espace mesuré。

La mesure de Lebesgue $\lambda$

$\lambda:BO(\mathbb R) \rightarrow 正值$,

是mesure,符合以下规律:

$\forall a<b \in \mathbb R^2, a<b, \lambda(]a,b[)=b-a$

注:

  1. $\{x\}\in BO(\mathbb R), \lambda(\{x\})=0$(用极限↓逼近)
  2. $\lambda(\mathbb Q\cap [0, 1])=\Sigma \lambda(\{x\})=\Sigma 0=0$
  3. $\lambda([0, 1]\cap \mathbb R\backslash \mathbb Q) = 1$
  4. $\int_0^11_\mathbb Q \mathrm d \lambda = 1\cdot \lambda([0,1]\cap \mathbb Q) + 0 \cdot\lambda([0,1]\cap \mathbb R \backslash \mathbb Q) = 0$

La mesure de comptage $\mathrm {Card}$

在$(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))$中表现为$\mathrm {Card}$函数。

Volume d'un pavé

在$(\mathbb R^n, BO(\mathbb R^n))$中,

$\lambda(]a_1, b_1[\times \dots \times ]a_n, b_n[) = \Pi_1^n (b_k-a_k)$

Ensemble $\mu$-négligéable

对于$(\Omega, \mathcal T, \mu)$,$B\subset \Omega$,

称B为$\mu$-négligéable,当:

存在$A\in \mathcal T $ 使得 $ B\subset A , \mu(A) = 0$

注意这里$B$是$\Omega$中的子集,而$A$是所给定的Tribu($\mathcal T$)中的一个集合元素。
$\mathbb Q$ est un ensemble $\lambda$-négligéable de $\mathbb R$.

Tribu $\mu$-complétée

Tribu $\mu$-complétée de $\mathcal T$:

$\mathcal T^* = \{A\cup B, A\in \mathcal T, B\subset \Omega, B\ \mu\mathrm{-négligéable}\}$

$\mu$ se prolonge à $\mathcal T^*$:

$\forall A\in \mathcal T, \forall B\subset \Omega, B\ \mu\mathrm{-négligéable}$(即$A\cup B \in \mathcal T^*$)$\Rightarrow \mu(A\cup B) = \mu(A)$

最后修改:2021 年 09 月 12 日 01 : 26 PM
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