学期要求
Ingénieur需要inventer，所以要学这么多奇奇怪怪的数学证明和定理
Technicien需要appliquer，所以学的大部分是应用、技巧之类的东西
要Travailler tous les jours，养成好习惯。
Chapitre 1 Intégrabilité et intégrale à paramètres
0. Introduction
Intégration selon Riemann解决Continue Par Morceaux(CPM)函数的积分问题
这章节解决非CPM函数的积分问题。
例： $\int_0^1 {1}_\mathbb Q (t)\mathrm{d}t=?$
1. Espace mesurés
Tribu $\mathcal T$
最大的tribu是$\mathcal P (\Omega)$，最小的Tribu是$\{\emptyset, \Omega\}$
tribu中集合补集也在tribu中
tribu中集合可数并也在tribu中（即，可数交也在tribu中，因为交为补的并的补。）
一般来说见到的tribu应该都是$\mathcal P (\Omega)$。
Ensemble mesurable $(\Omega, \mathcal T)$
集合配tribu就形成了ensemble mesurable.
$(\Omega, \mathcal T)$
Parties mesurables
tribu的元素均为可测集parties mesurables。
Tribu borélienne $BO(\Omega)$
最小的，包含$\Omega$中所有boules ouverts的，集合的集合。
记为$BO(\Omega)$
注意：
- $\{x\}\in BO(\mathbb R)$，因为x的补集是一个开区间的并。
- $\mathbb Q\in BO(\mathbb R)$，因为是很多个x的可数并。
- $[0,1]\cap \mathbb Q\in BO(\mathbb R)$，因为$\mathbb Q$的补和$[0,1]$的补都在$BO(\mathbb R)$中.
- $BO(\mathbb R^n)$包含所有pavés，例如ouvert长方形（R2中），ouvert长方体（R3中）……
Mesure positive $\mu$
mesure positive sur $\Omega$ : $\mu$, une application positive
- $\mu(\emptyset) = 0$
- $\mu(\cup A_n) = \Sigma \mu(A_n)$ quand $A_n$ 2 à 2 disjoints.
Formulaire de $\mu$
- $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq\mu(B)$
- $\mu(A\cup B) = \mu(A)+\mu(B)-\mu(A\cap B)$
- Limite décroissante
- Limite croissante
- Sous-additivité : $\mu(\cup A_n) \leq \Sigma \mu(A_n)$
Espace mesuré $(\Omega, \mathcal T, \mu)$
(集合，Tribu，mesure) 组成espace mesuré。
La mesure de Lebesgue $\lambda$
$\lambda:BO(\mathbb R) \rightarrow 正值$，
是mesure，符合以下规律：
$\forall a<b \in \mathbb R^2, a<b, \lambda(]a,b[)=b-a$
注：
- $\{x\}\in BO(\mathbb R), \lambda(\{x\})=0$（用极限↓逼近）
- $\lambda(\mathbb Q\cap [0, 1])=\Sigma \lambda(\{x\})=\Sigma 0=0$
- $\lambda([0, 1]\cap \mathbb R\backslash \mathbb Q) = 1$
- $\int_0^11_\mathbb Q \mathrm d \lambda = 1\cdot \lambda([0,1]\cap \mathbb Q) + 0 \cdot\lambda([0,1]\cap \mathbb R \backslash \mathbb Q) = 0$
La mesure de comptage $\mathrm {Card}$
在$(\mathbb N, \mathcal P(\mathbb N))$中表现为$\mathrm {Card}$函数。
Volume d'un pavé
在$(\mathbb R^n, BO(\mathbb R^n))$中，
$\lambda(]a_1, b_1[\times \dots \times ]a_n, b_n[) = \Pi_1^n (b_k-a_k)$
Ensemble $\mu$-négligéable
对于$(\Omega, \mathcal T, \mu)$，$B\subset \Omega$，
称B为$\mu$-négligéable，当：
存在$A\in \mathcal T $ 使得 $ B\subset A , \mu(A) = 0$
Tribu $\mu$-complétée
Tribu $\mu$-complétée de $\mathcal T$:
$\mathcal T^* = \{A\cup B, A\in \mathcal T, B\subset \Omega, B\ \mu\mathrm{-négligéable}\}$
$\mu$ se prolonge à $\mathcal T^*$：
$\forall A\in \mathcal T, \forall B\subset \Omega, B\ \mu\mathrm{-négligéable}$（即$A\cup B \in \mathcal T^*$）$\Rightarrow \mu(A\cup B) = \mu(A)$
